Puissance d'un nombre complexe

Autorisés : constantes, opérateurs et i ! Pour le produit, utiliser * Ex: a*b et non ab
Autorisés : nombres entiers positifs ou négatifs

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Ce calculateur en ligne calcule les puissances d'un nombre complexe. Saisissez z et n et l'outil calcule `z^n`.

Puissance entière d'un nombre complexe

Format polaire
Soit z un nombre complexe qui s'écrit sous le format polaire suivant,

`z = r *( cos(\varphi) + i * sin(\varphi))`

n est un nombre entier relatif alors, d'après la formule de Moivre,

`z^n = r^n *( cos(n*\varphi) + i * sin(n*\varphi))`

Format exponentielle
Soit z un nombre complexe qui s'écrit sous le format exponentiel suivant,

`z = r * e^(i*\varphi)`

n est un nombre entier relatif alors,

`z^n = r^n * e^(n*i*\varphi)`

Ce résultat découle directement de la formule de Moivre.

Format algébrique
Soit z un nombre complexe qui s'écrit sous le format algébrique suivant,

`z = x + i*y`, x et y sont deux nombres réels

n est un nombre entier relatif alors,

`z^n = (x + i*y)^n`

Pour les petites valeurs de n, on peut utiliser les identités remarquables, on a par exemple,

`z^2 = (x+i*y)^2 = x^2 -y^2 + i * (2*x*y)`

`z^3 = (x+i*y)^3 = x^3 -3*x*y^2 + i * (3*x^2*y-y^3)`

Pour les grandes valeurs de n, il n'est pas facile de faire le développement de `(x + i*y)^n`. On peut toujours utiliser les coefficients binomiaux mais nous recommandons de convertir z de sa forme algébrique vers sa forme polaire et d'utiliser la formule de Moivre (Cf ci-dessus).

Exemple

Calculer `z^25` pour `z = 1 - i`

On convertit z sous sa forme polaire z = (`sqrt(2)`, `-pi/4`). On peut écrire selon la formule de Moivre,

`z^25 = sqrt(2)^25 *( cos(-25*pi/4) + i * sin(-25*pi/4))`

`z^25 = sqrt(2)^25 *( cos(25*pi/4) - i * sin(25*pi/4))`

`z^25 = sqrt(2)^25 *( cos(6*pi +pi/4) - i * sin(6*pi+pi/4))`

`z^25 = sqrt(2)^25 *( cos(pi/4) - i * sin(pi/4))`

`z^25 = 4096*sqrt(2) *( sqrt(2)/2 - i * sqrt(2)/2)`

`z^25 = 4096 *( 1 - i )`

Voir aussi

Formats polaire et exponentiel d'un nombre complexe
Forme algébrique d'un nombre complexe