Coefficient binomial - Calcul en ligne


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Calculez en ligne le coefficient binomial, très utile en combinatoire (par exemple, pour calculer le nombre de combinaisons) et dans la formule du binôme (coefficients du polynôme `(a+b)^n`).

Définition du coefficient binomial

Le coefficient binomial, dit "k parmi n" ou "combinaison de k parmi n" pour n, un entier naturel et k entier naturel inférieur ou égal à n, est le nombre de sous-ensembles de k éléments dans un ensemble de n éléments. Le coefficient binomial est noté,

`([n],[k]) = C_n^k = frac{n!}{k!(n-k)!}`

n! représente factorielle n soit,

`n! = n*(n-1)*(n-2)....*2*1`

Coefficient binomial et binôme de Newton

Les coefficients binomiaux permettent de calculer les coefficients d'un polynôme élevé à une puissance entière.

Exemple : calculer le coefficient de \(x^4y^2\) dans le développement de \((x + y)^6\)

\(\text{coef}(x^4y^2) = \dbinom {6} {4} = \dfrac {6!} {4! \, 2!} = 15\),

On peut calculer ainsi tous les coefficients au lieu de développer directement \((x + y)^6\) ce qui peut être fastidieux !.

Les autres coefficients:

\(\text{coef}(x^6) = \dbinom {6} {6} = \dfrac {6!} {6! \, 0!} = 1\)
\(\text{coef}(x^5y) = \dbinom {6} {5} = \dfrac {6!} {5! \, 1!} = 6\)
\(\text{coef}(x^4y^2) = \dbinom {6} {4} = \dfrac {6!} {4! \, 2!} = 15\) (déjà calculé ci-dessus)
\(\text{coef}(x^3y^3) = \dbinom {6} {3} = \dfrac {6!} {3! \, 3!} = 20\)
\(\text{coef}(x^2y^4) = \dbinom {6} {2} = \dfrac {6!} {2! \, 4!} = 15\)
\(\text{coef}(xy^5) = \dbinom {6} {1} = \dfrac {6!} {1! \, 5!} = 6\)
\(\text{coef}(y^6) = \dbinom {6} {0} = \dfrac {6!} {0! \, 6!} = 1\)

On peut donc donner un développement de ce polynôme:

\((x+y)^6=x^6+6x^5y+15x^4y^2+20x^3y^3+15x^2y^4+6xy^5+y^6\)

On remarque une égalité des coefficients entre \(x^2y^4\) et \(x^4y^2\) d'une part et entre \(xy^5\) et \(x^5y\) d'autre part. Cette symétrie se déduit facilement à partir de la formule du coefficient binomial. On peut donc simplifier les calculs. Par exemple, dans le développement de \((x+y)^8\), on a :

- \(\text{coef}(x^8) = \text{coef}(y^8) = 1\)

Pour les autres coefficients, on se contente de calculer les coefficients de \(xy^7\), \(x^2y^6\), \(x^3y^5\) et \(x^4y^4\). Les autres coefficients s'en déduisent.

Voir aussi

Combinaison