Combinaison

Calcul du nombre de combinaisons de p éléments parmi n élements : `C_n^p \text{ }(n >= p)`



Cet outil en ligne permet de calculer le nombre de combinaisons de p éléments d’un ensemble de n éléments. En combinatoire, Un élément crucial qui permet d'identifier une combinaison est que l'ordre des éléments n'y compte pas.

Définition d'une combinaison

Une combinaison de p éléments parmi n est un classement non ordonné de ces p éléments. Dit autrement, on part d'un ensemble formé de n objets, une combinaison de p éléments de cet ensemble est un réarrangement non ordonné (ou "mélange") de ces p objets.

Exemples:
- 2,3,1 est une combinaison de 3 éléments parmi 1,2,3,4 mais 2,1,3 représente la même combinaison car l'ordre ne compte pas.
- c,a est une combinaison de 2 éléments parmi a,b,c. De même, a,c représente la même combinaison.

Formule de calcul

Soit un ensemble de n objets différents alors, le nombre de combinaisons de p objets de cet ensemble est égale à,

`C_n^p = frac{n!}{p! * (n-p)!}`

Exemple:
Soit un ensemble E constitué de 3 éléments 1, 2, 3. Le nombre de combinaisons de 2 éléments de cet ensemble est égal à 3! / (2! . (3-2)!) = 3. Ces combinaisons sont :
1, 2,
1, 3,
2, 3

Comment identifier une combinaison ?

il y a deux critères pour reconnaître un combinaison :
- L'ordre ne compte pas
- Seulement un sous-ensemble de l'ensemble des éléments est concerné

Exemple:
Combien y-a-t-il de tirages possibles dans un loto à 49 numéros dont 5 gagnants ?
Il s'agit d'une combinaison car l'ordre (de sortie) ne compte pas et seulement un sous-ensemble des numéros est concerné (5 parmi 49).
Le nombre de tirages possibles est 49! / (5! (49-5)!) = 1 906 884.

Comparatif des méthodes de dénombrement

Méthode Eléments concernés L'ordre compte ? Formule
Permutation Tous les éléments (n) Oui `n!`
Arrangement Sous-ensemble de p éléments parmi n Oui `frac{n!}{(n-p)!}`
Combinaison Sous-ensemble de p éléments parmi n Non `frac{n!}{p!*(n-p)!}`

Voir aussi

Permutation
Arrangement
Coefficient binomial