Arrangement
Définition d'un arrangement
Un arrangement de p éléments parmi n est un classement ordonné de ces p éléments. Dit autrement, on part d'un ensemble formé de n objets, un arrangement de p éléments de cet ensemble est un réarrangement ordonné (ou "mélange") de ces p objets.
Exemples:
- 2,3,1 est un arrangement de 3 éléments parmi 1,2,3,4.
- c,a est un arrangement de 2 éléments parmi a,b,c.
Formule de calcul
Soit un ensemble de n objets différents alors, le nombre d'arrangements de p objets de cet ensemble est égale à,
`A_n^p = frac{n!}{(n-p)!}`
Exemple:
Soit un ensemble E constitué de 3 éléments 1, 2, 3.
Le nombre d'arrangements de 2 éléments de cet ensemble est égal à 3! / (3-2)! = 6.
Ces arrangements sont :
1, 2,
1, 3,
2, 1,
2, 3,
3, 1,
3, 2.
Comment identifier un arrangement ?
il y a deux critères pour reconnaître un arrangement :
- L'ordre compte
- Seulement un sous-ensemble de l'ensemble des éléments est concerné
Exemple:
- Dans une course à 12 chevaux, combien de tiercés possibles peut-on obtenir ?
Il s'agit d'un arrangement car l'ordre (d'arrivée) compte mais seulement un sous-ensemble des chevaux est concerné (3 parmi 12).
Le nombre de tiercés possibles est 12! / (12-3)! = 1320
Comparatif des méthodes de dénombrement
| Méthode | Eléments concernés | L'ordre compte ? | Formule |
|---|---|---|---|
| Permutation | Tous les éléments (n) | Oui | `n!` |
| Arrangement | Sous-ensemble de p éléments parmi n | Oui | `frac{n!}{(n-p)!}` |
| Combinaison | Sous-ensemble de p éléments parmi n | Non | `frac{n!}{p!*(n-p)!}` |