Permutation
Définition d'une permutation
Une permutation est un classement ordonné de n éléments. Dit simplement, on part d'un ensemble formé de n objets ordonnés, une permutation de cet ensemble est un réarrangement (ou "mélange") de cet ensemble de n objets.
Exemples:
- 2,3,4,1 est une permutation des éléments 1,2,3,4.
- b,c,a est une permutation de a,b,c.
- B,A n'est pas une permutation de A,B,C car on n'a pas conservé les éléments de départ.
Formule de calcul
Soit un ensemble de n objets différents alors, le nombre de permutations de cet ensemble est égale à,
`P_n = n!`
Exemple:
Soit un ensemble E constitué de 3 éléments 1, 2, 3.
Le nombre de permutations de cet ensemble est égal à 3! = 6.
Les permutations de E sont:
1, 2, 3,
1, 3, 2,
2, 1, 3,
2, 3, 1,
3, 1, 2,
3, 2, 1.
Comment identifier une permutation ?
il y a deux critères pour reconnaître une permutation :
- l'ordre compte
- l'ensemble (et non un sous-ensemble) des éléments est concerné
Exemple:
- Dans une course à 12 chevaux, combien y a-t-il de classements possibles ?
Il s'agit d'une permutation car l'ordre (d'arrivée) compte et l'ensemble des chevaux est concerné.
Le nombre de classements possibles est 12! = 479 001 600.
Comparatif des méthodes de dénombrement
| Méthode | Eléments concernés | L'ordre compte ? | Formule |
|---|---|---|---|
| Permutation | Tous les éléments (n) | Oui | `n!` |
| Arrangement | Sous-ensemble de p éléments parmi n | Oui | `frac{n!}{(n-p)!}` |
| Combinaison | Sous-ensemble de p éléments parmi n | Non | `frac{n!}{p!*(n-p)!}` |