Division euclidienne

Calcul de la division euclidienne de deux nombres entiers. Les entiers peuvent être positifs, négatifs ou sous forme de puissance (Exemple : saisir 2^45 pour 2 puissance 45). La division posée est faite dans le cas où le dividende et le diviseur sont positifs.
Pour les nombres décimaux (Ex: 112.45 ÷ 56.7), utilisez : Division décimale.
Pour les polynômes, Ex : (x2 + 1) ÷ (x - 1), utilisez : Division de deux polynômes.



Cet outil effectue la division euclidienne de deux nombres entiers de signes positif ou négatif. Il gère aussi les puissances (Ex: 2^43 ÷ 67) Saisissez deux nombres entiers pour calculer le quotient et le reste de leur division entière. Exemple : 15/2 = 7 (quotient), reste=1.

Division euclidienne de deux nombres entiers positifs (naturels)

Faire la division entière d’un nombre entier naturel (le dividende) par un autre nombre entier naturel non nul (le diviseur) revient à trouver deux nombres entiers naturels (le quotient et le reste) qui vérifient:

dividende = (quotient × diviseur) + reste
Le reste est un nombre entier naturel strictement inférieur au diviseur.

Exemple: 17 ÷ 5 = 3 reste 2

Division euclidienne de deux nombres entiers relatifs

La définition ci-dessus peut être généralisée à deux nombres entiers qui peuvent être négatifs (nombres entiers relatifs).

Soit,
a le dividende et b le diviseur,

alors il existe 2 nombres entiers uniques q (quotient) et r (reste) tels que :

`a = b . q + r`   et   `0 <= r < |b|`

Exemples

- Cas d'entiers naturels:
23 ÷ 4 = 5 reste 3
56 ÷ 7 = 8 reste 0

- Cas d'entiers relatifs
-23 ÷ 5 = -5 reste 2
-65 ÷ 3 = -22 reste 1
45 ÷ -4 = -11 reste 1
-26 ÷ -7 = 4 reste 2

- Cas particuliers:
Si le dividende est égal à 0 alors le quotient et le reste sont égaux à 0.
0 ÷ 3 = 0 reste 0

Si le dividende est égal au diviseur alors le quotient est égal à 1 et le reste est égal à 0.
24 ÷ 24 = 1 reste 0

Si le dividende est un multiple du diviseur (donc le diviseur divise le dividende) alors le reste est égal à 0.
9 ÷ 3 = 3 reste 0

Division entière et modulo

Soit deux entiers relatifs a et b alors le reste de la division euclidienne de a par b est congru à a modulo b, ce qui s'écrit,

`a\equiv r\mod b`

r étant le reste de la division entière de a par b.

Programmation

Voici comment on programme le quotient et le reste de la division euclidienne de deux nombres entiers a (dividende) et b (diviseur).

A noter que dans python, le reste de la division euclidienne peut être négatif.
Dans le calculateur ci-dessus, le reste est toujours positif ou nul, ce qui garantit son unicité.

Python


def division_euclidienne(a,b): 
    #quotient = a//b , reste = a % b
    return (a//b , a%b)

Voir aussi

Operation modulo
Critères de divisibilité
Test de divisibilité