Limite d'une fonction

Calcul de `lim_(x -> x_0) f(x)\text{ ou }lim_(x -> x_0^+) f(x)\text{ ou }lim_(x -> x_0^-) f(x)\text{ ou }lim_(x -> -oo) f(x)\text{ ou }lim_(x -> +oo) f(x)`

Cet outil est conçu pour calculer la limite d'une fonction, notée f, en un point spécifique x₀. Vous disposez de plusieurs options pour définir la valeur de x vers laquelle la fonction tend :

• Un nombre spécifique, comme 0.
• Une constante, telle que pi ou e.
• L'infini positif, représenté par +inf.
• L'infini négatif, représenté par -inf.

De plus, vous pouvez préciser la direction de la limite. Vous pouvez choisir si x approche x₀ par la droite ou par la gauche.

L'outil prend en charge une gamme de fonctions standards, y compris le sinus, le cosinus, la tangente, le logarithme (log), l'exponentielle, la racine carrée, et plus encore. Veuillez consulter le tableau ci-dessous pour une liste détaillée des fonctions acceptées.

Comment utiliser ce calculateur ?

À quoi sert la limite d'une fonction ?

La limite d'une fonction en un point donné nous indique le comportement de cette fonction lorsque la valeur de x se rapproche de plus en plus de ce point, sans l'atteindre.

Notation : Si la limite de `f(x)` quand x tend vers a, où a et L sont des nombres réels, est égale à L, alors on note cela `lim_(x -> a) f(x) = L`. Cela signifie que lorsque x devient très proche de a, alors la valeur de la fonction `f(x)` devient très proche de L.

Remarque importante : la fonction doit être définie dans le voisinage de a, mais pas forcément en a !

La définition et la notation restent valables même si "a" et/ou "L" sont remplacés par plus ou moins l'infini. Par exemple, `lim_(x -> +oo) f(x) = L` signifie que lorsque x devient très grand, la valeur de la fonction `f(x)` se rapproche de L.

Limites à gauche et limite à droite

Il y a deux façons pour x de tendre vers a :

• Par la droite : x tend vers a par la droite (noté `x -> a+`), c'est-à-dire que x se rapproche de a tout en restant supérieur à a.
• Par la gauche : x tend vers a par la gauche (noté `x -> a-`), signifiant que x se rapproche de a tout en restant inférieur à a.

Cette distinction est cruciale car pour certaines fonctions, la limite à droite peut être différente de la limite à gauche. Par exemple, `lim_(x -> 0+) 1/x = +oo` mais `lim_(x -> 0-) 1/x = -oo`. Si les deux limites ne sont pas égales, la limite en ce point n'est pas définie.

Comment calculer la limite d'une fonction ?

Calcul par substitution directe (cas `x -> a`)

La substitution directe est la première technique à essayer. Elle consiste à remplacer x par a pour examiner le comportement de la fonction au voisinage de a.

La substitution directe peut conduire à une forme déterminée ou à une forme indéterminée. Dans ce dernier cas, il est nécessaire de lever l'indétermination en appliquant des techniques comme la simplification ou la multiplication par le conjugué.

Liste des formes définies (ou détérminées)
On note :
p (comme positif) un nombre réel positif non nul,
n (comme négatif) un nombre réel négatif non nul,
q (un nombre de signe quelconque positif ou négatif non nul),
`+oo`, plus l'infini,
`-oo`, moins l'infini,
`oo`, plus ou moins l'infini.

Formes définies: addition et soustraction Formes définies: multiplication et division Formes définies: puissance Liste des formes indéfinies (ou indétérminées)

Parmi les techniques les plus utilisées pour lever l'indétermination, on trouve la factorisation, l'application d'une identité remarquable, et l'application de la règle de l'Hôpital : `lim_(x -> a) f(x)/g(x) = lim_(x -> a) frac{f'(x)}{g'(x)}`.

Calcul d'une limite quand `x -> oo`

Lorsque x tend vers l'infini, on remplace x par des valeurs très grandes pour comprendre le comportement de la fonction. Par exemple, `lim_(x -> +oo) 1/x^n = 0` pour n entier positif.
`lim_(x -> -oo) 1/x^n = 0`,
`lim_(x -> +oo) x^n = +oo`,
`lim_(x -> -oo) x^n = +oo`, si n est pair
`lim_(x -> -oo) x^n = -oo`, si n est impair

Exemples simples de calcul de limite ou avec une forme déterminée

Exemple 1: un cas simple de substitution directe

`lim_(x -> 0) (x^2+1) = 1`
Quand `x` se rapproche de plus en plus de 0, alors `x^2` se rapproche aussi de 0 donc `x^2+1` se rapproche de 1.

Exemple 2 : cas d'une forme détérminée (`1/(0+)`)

`lim_(x -> 0) 1/x^2 = +oo`
Quand `x` se rapproche de plus en plus de 0, `x^2` se rapproche aussi de 0 (du côté positif car `x^2 >= 0`), donc `1/x^2` devient de plus en plus grand (essayer donc de calculer `1/0.0000001^2` !) c'est à dire tend vers `+oo`.

Exemple 3 : cas d'une forme détérminée (`1/(+oo)`)

`lim_(x -> +oo) 1/(x+1) = 0`,
Quand `x` devient de plus en plus grand, `1/(x+1)` devient de plus en plus petit et se rapproche de 0.

Exemples de calcul de limite avec une forme indéterminée

Exemple A: forme indéterminée `0/0`

Calculer `lim_(x -> 1) (x-1)/(sqrt(x)-1)`

La fonction en question est bien définie dans le voisinnage de 1 (mais pas pour 1) car le dominateur doit être différent de 0. En plus, x doit être positif (à cause de la racine). Le domaine de définition est l'ensemble des réels positifs, 1 étant exclu.

La substitution directe donne `0/0` mais on constate que `x = (sqrt(x))^2` donc on pourra appliquer une identité remarquable:

`f(x) = ((sqrt(x))^2 -1 ) / (sqrt(x) - 1) = ( ((sqrt(x) -1 ) * (sqrt(x) +1 )) / (sqrt(x) - 1)) = sqrt(x) +1`

En faisant une substitution directe, on déduit aisément que

`lim_(x -> 1) (x-1)/(sqrt(x)-1) = 2`

Voir aussi

Dérivée d'une fonction
Primitive d'une fonction
Développement limité
Valeur d'une fonction
Intégrale d'une fonction sur un intervalle

---