Calculateur de Développement Limité
Calculateur de Développement Limité
Ce calculateur de développement limité en ligne est conçu pour faciliter l'approximation de fonctions autour d'un point spécifique. Il permet de décomposer une fonction en une série polynomiale, offrant une vision claire de son comportement local. Cet outil est particulièrement utile pour les étudiants, les enseignants et les professionnels qui cherchent à analyser des fonctions complexes de manière simplifiée.
Comment Utiliser le Calculateur de Développement Limité
Pour utiliser cet outil, remplissez les champs suivants :
- Variable principale : La variable de la fonction (ex : x).
- Fonction : La fonction à développer (ex : e^x, sin(x)).
- x0 (Point) : Le point autour duquel le développement est effectué (ex : 0, 1).
- Ordre (n) : L'ordre jusqu'auquel le développement est calculé (ex : 2, 3).
Guide de saisie des données
Ce guide vous aide à saisir correctement les données dans le calculateur :
| Variables | Une fonction peut avoir une ou plusieurs variables dont une principale. Une variable = une lettre alphabétique minuscule ou majuscule Exemples: f(x) = 4*x ou f(x) = 4*x*m + x + 1, saisir x dans le champ "variable principale" |
|---|---|
| Nombres | séparateur décimal : point |
| Opérateurs | + - * / ^ (puissance) Attention : pour le produit de a par b, utiliser la touche "étoile" du clavier. Saisir a*b et non ab. Exemple: 2*x. |
| Constantes | pi, e |
| Fonctions usuelles | sqrt (racine), exp (exponentielle), log(x) ou ln (logarithme népérien), |
| Fonctions trigonométriques | sin (sinus), cos (cosinus), tan (tangente), cot (cotangente), sec (sécante), csc (cosécante), |
| Fonctions trigonométriques inverses | arcsin (arcsinus), arccos (arccosinus), arctan (arctangente), arccot (arcotangente), arcsec (arcsécante), arccsc (arccosécante) |
| Fonctions hyperboliques | sinh (sinus hyperbolique), cosh (cosinus hyperbolique), tanh (tangente hyperbolique), coth (cotangente hyperbolique), sech (secante hyperbolique), csch (cosécante hyperbolique) |
| Fonctions hyperboliques inverses | asinh (sinus hyperbolique inverse) acosh (cosinus hyperbolique inverse), atanh (tangente hyperbolique inverse), acoth (cotangente hyperbolique inverse), asech (sécante hyperbolique inverse), acsch (cosécante hyperbolique inverse) |
Qu'est-ce qu'un Développement Limité ?
Un développement limité est une approximation polynomiale d'une fonction autour d'un point donné, souvent utilisée pour simplifier l'analyse de comportements locaux de fonctions complexes. Il s'agit d'exprimer une fonction comme une somme de termes polynomiaux et d'un reste, généralement en fonction de la puissance de `(x - a)`, où `a` est le point de développement.
Importance et Utilisation des Développements Limités
Les développements limités sont essentiels en analyse et en calcul pour estimer le comportement des fonctions près d'un point spécifique. Ils sont particulièrement utiles pour calculer des limites, des dérivées et des intégrales. Ces approximations permettent également de simplifier des expressions complexes dans le cadre d'analyses asymptotiques ou d'études de convergence.
Aspects et Règles pour le Calcul des Développements Limités
Pour calculer un développement limité, il est nécessaire de connaître les dérivées successives de la fonction au point de développement. La formule générale (ou forule de Taylor) pour un développement limité d'ordre `n` autour de `a` est donnée par :
`f(x) ≈ f(a) + f'(a)*(x-a) + f''(a)/2!*(x-a)^2 + ... + f^n(a)/n!*(x-a)^n`
Développements Limités des Fonctions Usuelles
Voici quelques exemples de développements limités pour des fonctions couramment utilisées :
- `e^x ≈ 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + ...` autour de 0.
- `sin(x) ≈ x - x^3/3! + x^5/5! - ...` autour de 0.
- `cos(x) ≈ 1 - x^2/2! + x^4/4! - x^6/6! + ...` autour de 0
- `tan(x) ≈ x + x^3/3 + 2x^5/15 + 17x^7/315 + ...` autour de 0.
- `ln(1+x) ≈ x - x^2/2 + x^3/3 - ...` autour de 0.
- `sqrt(1+x) ≈ 1 + x/2 - x^2/8 + ...` autour de 0.
- `(1+x)^a ≈ 1 + ax + a(a-1)x^2/2! + a(a-1)(a-2)x^3/3! + ...` autour de 0 (a est un réel).
Exemples de Calcul de Développement Limité
Voici plusieurs exemples illustrant le calcul de développements limités pour différentes fonctions en utilisant la méthode de Taylor :
-
Développement de `cos^2(x)` autour de 0 jusqu'au 2ème ordre :
Pour `f(x) = cos^2(x)`, calculez `f(x_0)`, `f'(x_0)` et `f''(x_0)` pour `x_0 = 0`.
On a `f(x_0) = cos^2(0) = 1`,
`f'(x) = -2*cos(x)*sin(x)` donc `f'(x_0) = 0`, et
`f''(x) = -2*cos^2(x) + 2*sin^2(x)` donc `f''(x_0) = -2`.
Le développement limité est donc `cos^2(x) ≈ 1 - x^2 + o(x^2)`.
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Développement de `1/(1 - x)` autour de 0 jusqu'au 2ème ordre :
Avec `f(x) = 1/(1 - x)`, déterminez `f(x_0)`, `f'(x_0)` et `f''(x_0)` pour `x_0 = 0`.
Ici, `f(x_0) = 1/(1 - 0) = 1`,
`f'(x) = 1/(1 - x)^2` donc `f'(x_0) = 1`, et
`f''(x) = 2/(1 - x)^3` donc `f''(x0) = 2`.
Le développement limité est alors `1/(1 - x) ≈ 1 + x + x^2+o(x2)`.
Conclusion
Le calculateur de développement limité est un outil précieux pour étudier le comportement local des fonctions. Il facilite l'approximation de fonctions complexes et permet une meilleure compréhension des propriétés fondamentales des fonctions en analyse mathématique.
Voir aussi
Dérivée d'une fonction
Primitive d'une fonction
Limite d'une fonction
Valeur d'une fonction
Integrale d'une fonction sur un intervalle