Racine nième d'un nombre complexe
Résultat
` root(n)(z) = -1/6*sqrt(21)*cos(1/3*pi - 1/3*arctan(10/27*sqrt(3))) - 1/2*i*sqrt(7)*cos(1/3*pi - 1/3*arctan(10/27*sqrt(3))) - 1/6*i*sqrt(21)*sin(1/3*pi - 1/3*arctan(10/27*sqrt(3))) + 1/2*sqrt(7)*sin(1/3*pi - 1/3*arctan(10/27*sqrt(3))) \approx 0.5 - 1.44337567297406*i`
` root(n)(z) = -1/6*sqrt(21)*cos(1/3*pi - 1/3*arctan(10/27*sqrt(3))) + 1/2*i*sqrt(7)*cos(1/3*pi - 1/3*arctan(10/27*sqrt(3))) - 1/6*i*sqrt(21)*sin(1/3*pi - 1/3*arctan(10/27*sqrt(3))) - 1/2*sqrt(7)*sin(1/3*pi - 1/3*arctan(10/27*sqrt(3))) \approx -1.5 + 0.288675134594813*i`
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Racines nième d'un nombre complexe
Soit z un nombre complexe dont la forme polaire est la suivante,
`z = r(cos\theta + i * sin\theta)`,
r = |z| est le module de z.
`\theta` est l'argument de z.
Pour obtenir la forme polaire d'un nombre complexe, on peut utiliser ce calculateur :
calculer la forme polaire d'un nombre complexe
z a exactement n racines nième nombres complexes. On les note `t_k` avec `0 <=k<=n-1`,
`t_k = \text{}^nsqrt(r)(cos((\theta+2 \pi k)/n) + i * sin((\theta+2 \pi k)/n))`
Vérifions cela avec la formule de Moivre dont voici un rappel (n est un entier relatif),`(cos\alpha+i*sin\alpha)^n = cos(n*\alpha) + i*sin(n*\alpha)`
Appliquons cette formule aux `t_k`,
`t_k^n = (\text{}^nsqrt(r))^n(cos(n*(\theta+2 \pi k)/n) + i * sin(n*(\theta+2 \pi k)/n))`
`t_k^n = r(cos(theta) + i * sin(\theta)) = z`
`t_k` est donc bien une racine nième de z.
Voir aussi
Forme polaire d'un nombre complexe
Module d'un nombre complexe
Module d'un nombre complexe