Module d'un nombre complexe

Module d'un nombre complexe

Soit z un nombre complexe qui s'écrit sous forme algébrique,

`z = a + b . i`

a - la partie réelle de z
b - la partie imaginaire de z

alors, le module de z, noté |z|, est un nombre réel est défini par,

`|z| = \sqrt(a^2+b^2)`

Exemples
- Le module de z = 0 est 0
- Le module d'un nombre réel est égal à sa valeur absolue `|-6| = 6`
- Si `z = i` alors,  `|z| = sqrt(0^2 + 1^2) = 1`
- Si `z = 1 + 2 * i`  alors, `|z| = \sqrt(1^2 + 2^2) = sqrt(5)`
- Si `z = -5 + 6*i`  alors, `|z| = \sqrt((-5)^2 + 6^2) = sqrt(61)`

Propriétés du module d'un nombre complexe

- Le module d'un nombre complexe est toujours positif.

`|z| >= 0`

- si `bar z` est le conjugué de z alors,

`z*bar z = |z|^2`, ce qui peut être écrit d'une autre manière,

`|z| = \sqrt(z*bar z)`

- Le module du produit de deux nombres complexes est égal au produit de leurs modules.

`|z_1 * z_2| = |z_1| * |z_2|`

- Le module du rapport entre deux nombres complexes est égal au rapport de leurs modules.

`|\frac{z_1}{z_2}| = \frac{|z_1|}{|z_2|}` avec `z_2 != 0`

- L'inégalité triangulaire

`|z_1 + z_2| <= |z_1| + |z_2|`

- Les modules d'un nombre complexe et de son opposé sont égaux.
`|-z| = |z|`

- Les modules d'un nombre complexe et de son conjugué sont égaux.

`|bar z| = |z|`

Voir aussi

Conjugué d'un nombre complexe
Opérations sur les nombres complexes

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