Matrice des cofacteurs

Matrice des cofacteurs

La matrice des cofacteurs d'une matrice carrée M (ou Comatrice), notée com(M), est définie comme suit :

On note c(i,j) le coefficient se trouvant à la i-ème ligne et j-ème colonne de la comatrice. On a alors,

`c(i,j) = (-1)^(i+j) det( M(i,j) )`, où
'det' représente le déterminant.

`M(i,j)` est la sous-matrice carrée de taille n - 1 (M étant de taille n × n), obtenue à partir de M en supprimant la i-ème ligne et la j-ème colonne. le déterminant de M(i,j) est appelé 'mineur' de la matrice M.

c(i,j) est appelé cofacteur d'indice i,j de la matrice M.

Exemple de calcul d'une comatrice 2x2:

`M = [[1,2],[-3,6]]`

En appliquant ce qui précède, on a,

`c(1,1) = (-1)^(1+1) det( (6) ) = 6`

`c(1,2) = (-1)^(1+2) det( (-3) ) = 3`

`c(2,1) = (-1)^(2+1) det( (2) ) = -2`

`c(2,2) = (-1)^(2+2) det( (1) ) = 1`

On déduit,

`\text{com M} = [[6,3],[-2,1]]`

Exemple de calcul d'une comatrice 3x3:

`M = [[1,5,4],[-2,7,-2],[9,8,0]]`

En appliquant la formule des cofacteurs, on obtient

`c(1,1) = (-1)^(1+1) det([[7,-2],[8,0]]) = 16`

`c(1,2) = (-1)^(1+2) det([[-2,-2],[9,0]]) = -18`

`c(1,3) = (-1)^(1+3) det([[-2,9],[7,8]]) = -79`

`c(2,1) = (-1)^(2+1) det([[5,4],[8,0]]) = 32`

`c(2,2) = (-1)^(2+2) det([[1,4],[9,0]]) = -36`

`c(2,3) = (-1)^(2+3) det([[1,5],[9,8]]) = 37`

`c(3,1) = (-1)^(3+1) det([[5,4],[7,-2]]) = -38`

`c(3,2) = (-1)^(3+2) det([[1,4],[-2,-2]]) = -6`

`c(3,3) = (-1)^(3+3) det([[1,5],[-2,7]]) = 17`

On déduit,

`\text{com M} = [[16,-18,-79],[32,-36,37],[-38,-6,17]]`

Voir aussi

Déterminant d'une matrice
Matrice adjointe
Calculateurs d'Algèbre linéaire