Déterminant d'une matrice

Déterminant d'une matrice

Le déterminant d'une matrice carré est très utilisé en algèbre linéaire notamment pour déterminer si une matrice est inversible et calculer son inverse.

Calcul du déterminant d'une matrice 2 x 2

`det[[a,b],[c,d]] = ad - bc`

Calcul du déterminant d'une matrice 3 x 3

On choisit d'abord une ligne ou une colonne de la matrice et on applique la technique suivante (ici on a choisi la 1ère colonne pour effectuer les calculs mais on verra dans la suite comment faire ce choix pour simplifier les calculs):

`A = [[\color{green}{a_11},a_12,a_13],[\color{red}{a_21},a_22,a_23],[\color{green}{a_31},a_32,a_33]]`

A chaque élément `a_(ij)` de cette colonne correspond une matrice 2 x 2 obtenue en "barrant" la ligne i et la colonne j. Ainsi,

`A_1 = [[\color{green}{a_11},.,.],[.,a_22,a_23],[.,a_32,a_33]] -> \color{green}{+a_(11)} * det([[a_(22),a_(23)],[a_(32),a_(33)]])`

`A_2 = [[.,a_12,a_13],[\color{red}{a_21},.,.],[.,a_32,a_33]] -> \color{red}{-a_(21)} * det([[a_(12),a_(13)],[a_(32),a_(33)]])`

`A_3 = [[.,a_12,a_13],[.,a_22,a_23],[\color{green}{a_31},.,.]] -> \color{green}{+a_(31)} * det([[a_(12),a_(13)],[a_(22),a_(23)]])`

Notez l'alternance des signes entre les éléments colorés de la colonne 1 (+ - +).

Le déterminant de A est égal à la somme de ces 3 composantes, soit,

`det(A) = \color{green}{+a_(11)} * det([[a_(22),a_(23)],[a_(32),a_(33)]]) \color{red}{-a_(21)} * det([[a_(12),a_(13)],[a_(32),a_(33)]]) \color{green}{+a_(31)} * det([[a_(12),a_(13)],[a_(22),a_(23)]])`

On obtient donc la formule suivante pour une matrice 3 x 3,

`det(A) = \color{green}{+a_(11)} * (a_(22)*a_(33) - a_(32) * a_(23)) \color{red}{-a_(21)} * (a_(12) *a_(33) - a_(32)* a_(13)) \color{green}{+a_(31)} * (a_(12)*a_(23)- a_(22)* a_(13) )`

Retour sur le choix de la colonne ou la ligne de départ
Nous sommes partis, ci-dessus, de la première colonne pour faire les calculs mais rien n'empêche de choisir une autre colonne ou une autre ligne en respectant le même schéma.

Afin d'alléger les calculs, on a intérêt à choisir une ligne ou une colonne avec le maximum de 0 !
Exemple : Calculer le déterminant de A,

`A = [[1,5,\color{green}{0}],[-1,2,\color{red}{3}],[4,7,\color{green}{0}]]`

On remarque que la colonne 3 a un maximum de 0, on la choisit comme base de départ. On a alors,

`det(A) = \color{green}{+0} * det([[-1,2],[4,7]]) \color{red}{-3} * det([[1,5],[4,7]]) \color{green}{+0} * det([[1,5],[-1,2]])`

`det(A) = \color{red}{-3} * det([[1,5],[4,7]]) = -3*(1*7-4*5) = 39`

S'il n'existe pas des zéros dans la matrice on peut les "créer" en utilisant les techniques du paragraphe suivant comme nous allons voir dans les exemples.

Techniques pour calculer rapidement un déterminant
- si une ligne ou une colonne est nullea alors le déterminant est nul.
- si deux lignes ou deux colonnes sont identiques alors le déterminant est nul ;
- on peut ajouter à une colonne (ou une ligne) un multiple d'une autre colonne (ou d'une autre ligne) sans changer la valeur du déterminant ;

Exemple: cet exemple consiste à "créer" des 0 pour alléger les calculs.

`A = [[1,5,4],[-1,2,2],[4,7,2]]`

On applique la propriété énoncée ci-dessus : "on peut ajouter à une colonne (ou une ligne) un multiple d'une autre colonne (ou d'une autre ligne) sans changer la valeur du déterminant".

On remplace la "colonne 3" par "colonne 3" - 4 * "colonne 1" pour "créer" un 0. Cela donne,

`A = [[1,5,0],[-1,2,6],[4,7,-14]]`

Soit on calcule le déterminant en partant de la première ligne ou la 3ème colonne (avec un 0) soit on créé un autre "0". Pour cela, on applique la même technique pour cette dernière matrice en remplaçant la "colonne 2" par "colonne 2" - 5 * "colonne 1" pour créer un autre 0.

`A = [[1,0,0],[-1,7,6],[4,-13,-14]]`

La ligne 1 a 2 zéros, elle est idéale pour base de calcul,

`det(A) = 1 * det([7,6],[-13,-14]) = -20`

Enfin, cette technique peut être généralisée facilement à une matrice 4 x 4, etc.

Voir aussi

Matrice inverse
Rang d'une Matrice
Calculateurs d'Algèbre linéaire