Coefficient multinomial
Formule du coefficient multinomial
Soit k entiers notés `n_1, n_2, \ldots, n_k` tels que `n_1 + n_2 + \ldots + n_k = n` alors, le coefficient multinominial de `n_1, \ldots, n_k` est défini par :
\(\dbinom {n} {n_1, n_2, \ldots, n_k} = \dfrac {n!} {n_1! \, n_2! \, \ldots n_k!}\)
Exemple:
Le coefficient multinomial des entiers 2,3,5 est égal à (sachant que 2 + 3 + 5 = 10) :
\(\dbinom {10} {2, 3, 5} = \dfrac {10!} {2! \, 3! \, 5!} = 2520\)
A quoi sert le coefficient multinomial ?
Calcul des coefficients d'un polynôme
Ils permettent de calculer les coefficients d'un polynôme élevé à une puissance entière.
Exemple : calculer le coefficient de \(x*y^2*z^3\) dans le développement de \((x + y + z)^6\)
\(\text{coef}(x*y^2*z^3) = \dbinom {6} {1,2,3} = \dfrac {6!} {1! \, 2! \, 3!} = 60\),
On peut calculer ainsi tous les coefficients au lieu de développer directement \((x + y)^6\) ce qui peut être fastidieux !
Le coefficient multinomial est utilisé dans un cas particulier de "permutation" où certains objets de l'ensemble à permuter ne sont pas différenciés.
Exemple: quel est le nombre d'anagrammes du mot PAPA ?
On remarque que les lettres P et A se répètent chacune 2 fois donc on ne peut pas utiliser la formule classique 4! = 24 car il y a des permutations qui sont identiques.
Pour illustrer cela, appelons "provisoirement" le premier P: P(1) et le deuxième P: P(2). Notre mot de départ devient P(1)AP(2)A. La formule simple 4! prend en compte les 2 mots P(1)AP(2)A et P(2)AP(1)A comme étant 2 mots distincts or en fait il s'agit du même mot : PAPA !
En fait, il y a \(\dbinom {4} {2,2} = \dfrac{4!}{2! \, 2!}= 6\) anagrammes qui sont : PAPA, PPAA, APAP, AAPP, APPA, PAAP.
De même, on peut calculer le nombre d'anagrammes du mot MISSISSIPI à l'aide de la formule: \(\dbinom {10} {1,4,4,2} = \dfrac{10!}{1! \, 4! \, 4! \, 2!}= 34\, 650\)
Voir aussi
Coefficient binomial
Permutation