Calculateur sur un vecteur

Norme euclidienne d'un vecteur

La norme euclidienne d'un vecteur `\vecu` de coordonnées (x,y) dans le plan euclidien de dimension 2 est définie par:

`norm(vecu) = sqrt(x^2+y^2)`

La norme euclidienne d'un vecteur `\vecu` de coordonnées (x,y,z) dans l'espace euclidien de dimension 3 est définie par:

`norm(vecu) = sqrt(x^2+y^2+z^2)`

Exemple: Calculer la norme du vecteur `[[3],[2]]`

`norm(vecu) = sqrt(3^2+2^2) = sqrt(13)`

Vecteur orthogonal

Définition

Deux vecteurs de l'espace Euclidien de dimension n sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul.

Ces propositions (et notations) sont équivalentes :

- `\vecu _|_ \vecv`

- Les vecteurs `\vecu` et `\vecv` sont orthogonaux

- Leur produit scalaire est nul : `\vecu . \vecv = 0`

Comment calculer le vecteur orthogonal dans un plan euclidien ?

Soit `\vecu` un vecteur du plan de coordonnées (a,b). Tout vecteur `\vecv` de coordonnées (x,y) vérifiant cette équation est orthogonal à `\vecu`:

`\vecu . \vecv = 0`

`a.x + b.y = 0`

Si `b != 0` alors `y = -a*x/b`

Tous les vecteurs de coordonnées `(x, -a*x/b)` sont orthogonaux au vecteur `(a,b)` quelque soit x. En fait, tous ces vecteurs sont liés (ont la même direction).

Pour x = 1, on a `\vecv = (1,-a/b)` est un vecteur orthogonal à `\vecu`.

Normalisation d'un vecteur

Définition : soit `\vecu` un vecteur non nul. Le vecteur normalisé de `\vecu` est un vecteur qui a la même direction que `\vecu` et a une norme égale à 1.

On note `\vecv` le vecteur normalisé de `\vecu`, on a alors,

`\vecv = \vecu/norm(vecu)`

Exemple : Normaliser le vecteur du plan de coordonnées (3,-4)

`\norm(vecu) = sqrt(3^2 + (-4)^2) = sqrt(25) = 5`

Le vecteur normalisée de `\norm(vecu)` s'écrit donc `\vecv = \vecu/norm(vecu) = (3/5 , -4/5)`

Voir aussi

Produit scalaire de deux vecteurs