Calculateur de deux vecteurs

Pour les calculs impliquant un seul vecteur, voir Calculs sur un vecteur.


Utilisez ce calculateur en ligne pour faire des opérations sur les vecteurs : addition, soustraction, produit scalaire et produit vectoriel (défini en dimensions 3 et 7), angle formé par deux vecteurs et projection d'un vecteur sur un autre vecteur.

Produit scalaire

Soient `\vecu` et `\vecv` deux vecteurs de l'espace euclidien de dimension 3, `\mathbb{R^3}`, ayant les coordonnées suivantes :

`\vecu = (x_1,x_2,x_3)`

`\vecv = (y_1,y_2,y_3)`

alors le produit scalaire de `\vecu` par `\vecv` s'écrit,

`\vecu . \vecv = x_1.y_1 + x_2.y_2 + x_3.y_3`

Il existe une autre définition du produit scalaire utilisant la norme vectorielle et l'angle `\theta` formé par les vecteurs `\vecu` et `\vecv` :

produit-scalaire-deux-vecteurs

Le produit scalaire est égal à :

`\vecu . \vecv = norm(u) . norm(v) . cos(\theta)`

Au passage, on peut déduire la formule de calcul de l'angle entre 2 vecteurs :

`\theta = arccos((\vecu . \vecv) / (norm(u) . norm(v)))`

Exemple:

Soient `\vecu` et `\vecv` deux vecteurs ayant les coordonnées suivantes dans un repère orthonormé:

`\vecu = (1,4,-3)`

`\vecv = (10,2,2)`

alors le produit scalaire de `\vecu` par `\vecv` s'écrit,

`\vecu . \vecv = 1.10 + 4.2 + (-3).2 = 12`

Projection vectorielle

La projection vectorielle d'un vecteur `\vecu` sur un vecteur non nul `\vecv` est la projection orthogonale de `\vecu` sur `\vecv` comme indiqué sur le schéma ci-dessous (`\vecu_1` étant la projection de `\vecu` sur `\vecv`).

projection-vectorielle

`\vecu_1` est défini par:

`proj_\vecv(\vecu) = \vecu_1 = \(vecu . \vecv)/norm(vecv)^2 . \vecv`

Une autre formule:

On peut aussi utiliser l'angle `\theta` formé par les vecteurs `\vecu` et `\vecv`. La projection de `\vecu` sur `\vecv` peut être définie comme suit :

`\vecu_1 = proj_\vecv(\vecu) = (norm(vecu).cos(\theta)) . \vecv / norm(v)`

Voir aussi

Norme d'un vecteur