Variance d'une série statistique
- Calcul à partir de la population entière de la série
- Calcul à partir d'un échantillon de la série
Saisir les éléments de la série statistique séparés par un espace.
Variance
En statistique, la variance est une mesure de la dispersion des valeurs d'une série. elle est à la fois égale :
- au carré de l' écart type
- la moyenne arithmétique des carrés des écarts à la moyenne de la série
La variance est calculée (ou estimé) différemment selon que les données disponibles concernent la population entière ou seulement un échantillon de la population.
Calcul de la variance à partir de la "population entière (ou totale)"
Dans ce cas, on dispose des valeurs pour la population entière. Le calcul de la variance est direct à partir de la définition ci-dessus :
Soit la série X,
`X = {x_1, x_2, ..., x_n}`
On note `bar x` la moyenne de la série X soit, `bar x = 1/n.sum_{i=1}^{i=n}x_i`
La variance s'écrit alors,
`\text{Var(X)} = 1/n.sum_{i=1}^{i=n}(x_i-barx)^2`
Exemple : `X = {1, 2, 5, 3,8}`
Pour calculer la variance, on calcule d'abord la moyenne soit,
`bar x = 1/5.(1+2+5+3+8) = 3.8`
On déduit la variance,
`\text{Var(X)} = 1/5( (1-3.8)^2+(2-3.8)^2+(5-3.8)^2+(3-3.8)^2+(8-3.8)^2) approx 6.16`
Estimation de la variance à partir d'un "échantillon"
Dans ce cas, on ne dispose pas des valeurs pour la population entière mais seulemet d'un échantillon. On ne peut pas calculer la variance directement à partir de la définition ci-dessus. On utilise ce qu'on appelle un estimateur.
L'estimateur le plus utilisé pour la variance est le suivant :
Soit la série X (échantillon de la population entière),
`X = {x_1, x_2, ..., x_n}`
On note `bar x` la moyenne de l'échantillon (à ne pas confondre avec la moyenne de la population) soit, `bar x = 1/n.sum_{i=1}^{i=n}x_i`
La variance est estimée comme suit,
`\text{Var(X)} = 1/(n-1).sum_{i=1}^{i=n}(x_i-barx)^2`
Exemple : `X = {1, 2, 5, 3,8}`
X étant les valeurs observées pour une population tirée au hasard parmi la population totale.
On calcule d'abord la moyenne de l'échantillon soit,
`bar x = 1/5.(1+2+5+3+8) = 3.8`
On déduit une estimation de la variance,
`\text{Var(X)} = 1/4( (1-3.8)^2+(2-3.8)^2+(5-3.8)^2+(3-3.8)^2+(8-3.8)^2) = 7.7`
Voir aussi
Ecart type
Moyenne arithmétique