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Factoriser une expression

pour le produit, utiliser a*b et non ab ni a x b

Définition et Importance de la Factorisation

La factorisation est un processus clé en mathématiques qui consiste à réécrire les polynômes sous forme de produits de facteurs plus simples. Cette technique est essentielle pour simplifier les expressions et résoudre des équations de manière plus aisée.

Méthodes de Factorisation Principales

Identités Remarquables

Les identités remarquables sont des outils essentiels en algèbre pour la factorisation et la simplification des expressions. Voici les plus couramment utilisées :

  • Carré d'un Binôme:

    (a + b)² = a² + 2ab + b²
    (a - b)² = a² - 2ab + b².

    Ces formules permettent de développer le carré d'une somme ou d'une différence.

  • Cube d'un Binôme:

    (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
    (a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³.

    Elles facilitent la manipulation des expressions élevées à la puissance trois.

  • Différence de Deux Carrés:

    a² - b² = (a + b)(a - b).

    Cette identité est utile pour factoriser une différence de carrés.

  • Somme et Différence de Deux Cubes:

    a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)
    a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²).

    Ces formules servent à factoriser la somme et la différence de cubes.

Ces identités jouent un rôle crucial dans la simplification et la résolution d'équations complexes en algèbre.

Exemples de Factorisation à l'Aide d'Identités Remarquables

Voici des exemples concrets montrant comment utiliser les identités remarquables pour la factorisation :

  • Carré d'un Binôme: Pour l'expression x² + 6x + 9, on reconnaît le carré du binôme (x + 3), donc x² + 6x + 9 = (x + 3)².
  • Cube d'un Binôme: L'expression x³ - 27 est la différence de deux cubes, et se factorise comme (x - 3)(x² + 3x + 9).
  • Différence de Deux Carrés: Pour 16 - x², on applique la différence de carrés, donnant (4 + x)(4 - x).
  • Somme et Différence de Deux Cubes: La somme 8 + x³ se factorise en (2 + x)(4 - 2x + x²), tandis que la différence x³ - 8 devient (x - 2)(x² + 2x + 4).

Facteur Commun

La méthode du facteur commun consiste à extraire un terme commun à tous les éléments d'une expression. Par exemple, dans l'expression 4x + 8, le facteur commun est 4, et l'expression peut être réécrite comme 4(x + 2).

Exemples d'Utilisation du Facteur Commun

  • Pour l'expression 15 + 20, le facteur commun est 5. La factorisation donne :
    15 + 20 = 5(3 + 4).
  • Dans l'expression 4x + 12x², le facteur commun est 4x. On la factorise ainsi :
    4x + 12x² = 4x(1 + 3x).
  • Considérons 9xy + 27x²y. Ici, le facteur commun est 9xy, ce qui mène à :
    9xy + 27x²y = 9xy(1 + 3x).

Produit de Deux Binômes Conjugués

Le produit de deux binômes conjugués est exprimé comme la différence des carrés de ces termes. Par exemple, (a - b)(a + b) = a² - b².

Exemples de Factorisation du Produit de Deux Binômes Conjugués

  • Pour l'expression x² - 9, on applique le produit de deux binômes conjugués :
    x² - 9 = (x + 3)(x - 3).
  • Considérons 25 - y². La factorisation donne :
    25 - y² = (5 + y)(5 - y).
  • Pour 4z² - 16, on utilise la même méthode :
    4z² - 16 = (2z + 4)(2z - 4).
  • Dans l'expression 1 - 4x², la factorisation est :
    1 - 4x² = (1 + 2x)(1 - 2x).

Binôme au Carré et au Cube

Le carré d'un binôme, tel que (x + a)², se développe en x² + 2ax + a². De même, le cube d'un binôme, comme (x + a)³, se développe en x³ + 3x²a + 3xa² + a³.

Exemples de Factorisation de Binômes au Carré et au Cube

1. Factorisation de x² + 6x + 9 : Cette expression est le carré parfait du binôme (x + 3), donc x² + 6x + 9 = (x + 3)².

2. Factorisation de y² - 4y + 4 : Cette expression est le carré parfait du binôme (y - 2), donc y² - 4y + 4 = (y - 2)².

3. Factorisation de x³ + 12x² + 48x + 64 : Cette expression est le cube parfait du binôme (x + 4), donc x³ + 12x² + 48x + 64 = (x + 4)³.

4. Factorisation de z³ - 15z² + 75z - 125 : Cette expression est le cube parfait du binôme (z - 5), donc z³ - 15z² + 75z - 125 = (z - 5)³.

Somme et Différence de Deux Termes au Cube

La somme de deux cubes, x³ + a³, peut être factorisée en (x + a)(x² - xa + a²), tandis que la différence de deux cubes, x³ - a³, se factorise en (x - a)(x² + xa + a²).

Exemples de Factorisation de la Somme et de la Différence de Deux Cubes

1. Factorisation de x³ + 27 : Cette expression est une somme de deux cubes, x³ et 3³. Sa factorisation est (x + 3)(x² - 3x + 9).

2. Factorisation de y³ - 64 : Ici, nous avons la différence de deux cubes, y³ et 4³. La factorisation donne (y - 4)(y² + 4y + 16).

3. Factorisation de 125 + z³ : Cette expression représente la somme de deux cubes, 5³ et z³. Elle se factorise en (5 + z)(25 - 5z + z²).

4. Factorisation de 8a³ - 27b³ : C'est la différence de deux cubes, (2a)³ et (3b)³. La factorisation est (2a - 3b)(4a² + 6ab + 9b²).

Conclusion

La factorisation est un outil puissant en mathématiques, permettant de simplifier les expressions complexes et de résoudre efficacement les équations.

Voir aussi

Simplifier une Expression
Calculateurs mathématiques