Calculateur de matrices inverse, transposée, comatrice...


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Utilisez ce calculateur pour faire des transformations sur une matrice. Vous pouvez ainsi calculer les transformations suivantes :
- Inverse d'une matrice carrée
- Transposée d'une matrice
- Comatrice ou matrice des cofacteurs
- Matrice complémentaire d'une matrice carrée

Matrice inverse

L'inverse d'une matrice carré `M` est la matrice notée `M^(-1)` telle que,

`M*M^(-1) = I`

où, `I` est la matrice identité.

La matrice inverse de M existe si et seulement si le déterminant de M est non nul. On dit alors que M est inversible ou non singulière.

Matrice transposée

La matrice transposée d'une matrice à n lignes et p colonnes est une matrice à p lignes et n colonnes dans laquelle on échangé les lignes et les colonnes. Ainsi, les colonnes de la matrice tranposée de M sont les lignes de la matrice M. Par Exemple,

`M = [[1,2],[-8,6],[0,7]]` alors, la transposée de `M`, notée `M^T` ou \({}^t \! M\) est

`M^T = [[1,-8,0],[2,6,7]]`

Autre exemple,

`M = [[5,2,4],[1,-7,3],[0,9,8]]` alors,

`M^T = [[5,1,0],[2,-7,9],[4,3,8]]`

Comatrice

La comatrice d'une matrice carrée M (notée com A) peut être définie comme suit:

On note c(i,j) le coefficient se trouvant à la i-ème ligne et j-ème colonne de la comatrice. On a alors,

`c(i,j) = (-1)^(i+j) det( M(i,j) )`, où

`M(i,j)` est la sous-matrice carrée de taille n – 1 (M étant de taille n) obtenue à partir de M en supprimant la i-ème ligne et la j-ème colonne.

c(i,j) est appelé cofacteur d'indice i,j de la matrice M.

La comatrice est appelée aussi matrice des cofacteurs de M.

Exemple de calcul d'une comatrice 2x2:

`M = [[1,2],[-3,6]]`

En appliquant ce qui précède, on a,

`c(1,1) = (-1)^(1+1) det( (6) ) = 6`

`c(1,2) = (-1)^(1+2) det( (-3) ) = 3`

`c(2,1) = (-1)^(2+1) det( (2) ) = -2`

`c(2,2) = (-1)^(2+2) det( (1) ) = 1`

On déduit,

`\text{com M} = [[6,3],[-2,1]]`

Exemple de calcul d'une comatrice 3x3:

`M = [[1,5,4],[-2,7,-2],[9,8,0]]`

En appliquant la formule des cofacteurs, on obtient

`c(1,1) = (-1)^(1+1) det([[7,-2],[8,0]]) = 16`

`c(1,2) = (-1)^(1+2) det([[-2,-2],[9,0]]) = -18`

`c(1,3) = (-1)^(1+3) det([[-2,9],[7,8]]) = -79`

`c(2,1) = (-1)^(2+1) det([[5,4],[8,0]]) = 32`

`c(2,2) = (-1)^(2+2) det([[1,4],[9,0]]) = -36`

`c(2,3) = (-1)^(2+3) det([[1,5],[9,8]]) = 37`

`c(3,1) = (-1)^(3+1) det([[5,4],[7,-2]]) = -38`

`c(3,2) = (-1)^(3+2) det([[1,4],[-2,-2]]) = -6`

`c(3,3) = (-1)^(3+3) det([[1,5],[-2,7]]) = 17`

On déduit,

`\text{com M} = [[16,-18,-79],[32,-36,37],[-38,-6,17]]`

Matrice complémentaire

La matrice complémentaire est la matrice transposée de la comatrice. Ainsi, si M est une matrice carrée, alors sa matrice complémentaire notée \(\tilde{M}\) est égale à,

\(\tilde{M} = {}^t \! com(M)\)

où com(M) désigne la comatrice de M.

Pour calculer la matrice complémentaire, il suffit de calculer la comatrice et de calculer ensuite la transposée de cette dernière.

Voir aussi

Opérations sur les matrices