Calculer en ligne le PPCM - Plus Petit Commun Multiple


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Utilisez ce calculateur pour calculer le PPCM (ou Plus Petit Commun Multiple) de deux ou plusieurs nombres entiers.
Saisissez des nombres entiers positifs séparés par des virgules pour calculer leur PPCM. Exemple : 125,35,15,45

Qu'est ce que le PPCM ?

Le PPCM (ou plus petit commun multiple) de deux entiers non nuls est le plus petit entier strictement positif multiple commun à ces deux nombres.

Cette définition peut être généralisée aisément à plusieurs entiers. Le PPCM de n entiers est le plus petit multiple strictement positif commun à ces n entiers.

Exemple: quelle est le PPCM de 28 et 42 ?

Multiples de 28 = 28, 56, 84, 112...
Multiples de 42 = 42, 84, 126...

On remarque que le plus petit nombre commun aux 2 listes est 84. C'est donc le PPCM.
PPCM (28 , 42) = 84.

Comment calculer le PPCM ?

Il existe plusieurs méthodes pour calculer le PPCM.

Méthode des multiples : C'est la méthode qui découle directement de la définition.
- On liste les multiples des entiers en question (par exemple à l'aide ce calculateur Trouver les multiples d'un nombre).
- Le PPCM est le plus petit nombre commun à ces deux listes.

Exemple : Quelle est le PPCM de 6 et 21 ?

Multiples de 6 = 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42...
Multiples de 21 = 21, 42, 63...

Le plus petit élément commun à ces 2 listes est 42. On déduit,
PPCM ( 6 , 21 ) = 42

Cette méthode n'est pas recommandée car elle exige de calculer plusieurs multiples des entiers en question ce qui peut être long et fastidieux pour les grands nombres. Les 2 méthodes ci-dessous sont plus rapides.

Méthode avec factorisation

Exemple : Quelle est le PPCM de 48 et 42 ?

- On factorise les 2 nombres

`48 = 2^4 * 3` (factoriser 48)
`42 = 2 * 7 * 3` (factoriser 42)

- On va calculer le PPCM à partir de sa décomposition en facteurs premiers.
Les facteurs du PPCM seront les facteurs présents dans les facteurs de 48 ou 21. Ainsi,
les facteurs premiers de 48 sont 2 et 3
les facteurs premiers de 21 sont 7 et 3
les facteurs premeirs du PPCM sont donc l'union des 2 ensembles : 2, 7 et 3

Chaque facteur aura l'exposant le plus grand des 2 factorisations. Ainsi,
2 aura un exposant 4 (on compare 4 et 1 dans `2^4\text{ et }2^1` en prenant l'exposant le plus grand)
3 aura un exposant 1 (même exposant dans les 2 factorisations)
7 aura un exposant 1 (présent uniquement dans 42)

On a donc,

`PPCM ( 48 , 42 ) = 2^4 * 3 * 7 = 336`

Méthode avec utilisation du PGCD

Cette méthode utilise la formule suivante:

`PPCM( a , b ) * PGCD ( a , b ) = |a * b|`

On déduit,

`PPCM ( a , b ) = |a * b| \div PGCD( a , b )`

Ainsi, pour calculer le PPCM, il suffit de calculer le PGCD et appliquer cette formule.

On reprend l'exemple précédent: quelle est le PPCM de 48 et 42 ?

PPCM ( 48 , 42 ) = 48 * 42 \div PGCD( 48 , 42 )

Or,

PGCD( 48 , 42 ) = 6

Donc,

`PPCM ( 48 , 42 ) = 48 * 42 \div 6 = 336`

Cas particuliers

- si b est un diviseur de a, alors le PPCM de a et b est égal à a.
- si a ou b est nul, PPCM(a, b) = 0 ;

Propriétés du PPCM (avancé)

a et b sont deux entiers non nuls alors,
- PGCD(a , b) divise PPCM(a , b) (plus petit commun multiple commun)

- Si on multiplie a et b par un même entier naturel k alors leur PPCM est multiplié par k.
PPCM(k.a , k. b) = k.PPCM(a , b)

- Le produit de leur PGCD par leur PPCM est égal à la valeur absolue de leur produit. Cela peut s'écrire,
PGCD(a , b) x PPCM(a , b) = |a x b|

- a et b sont premiers entre eux si et seulement si PPCM(a ; b) = a x b.

Programmation

Voici un programme qui calcule le PPCM (Plus Petit Commun Multiple) de deux nombres entiers.

Python


def ppcm(x,y):

   # on choisit le maximum parmi x et y
   if x > y:
       le_max = x
   else:
       le_max = y

   while(True):
       if((le_max % x == 0) and (le_max % y == 0)):
           le_ppcm = le_max
           break
       le_max += 1

   return le_ppcm 

Voir aussi

Multiples d'un nombre
PGCD
Factoriser un nombre