Opérations sur les matrices

Calculateur de la somme, soustraction, produit et division de matrices.


Utilisez ce calculateur en ligne pour faire des opérations sur les matrices (addition, soustraction, multiplication et division).

Comment additionner deux matrices ?

Les deux matrices doivent avoir la même dimension à savoir, le même nombre de lignes et le même nombre de colonnes.
Additionner deux matrices est relativement simple : il suffit d'additionner les éléments de la même position deux à deux.

Exemple:

Soit A et B, deux matrices 2 x 2

`A = [[1,5],[6,-4]]`

`B = [[0,-12],[3,7]]`

On a alors,

`A + B = [[1+0,5-12],[6+3,-4+7]] = [[1,-7],[9,3]]`

Comment soustraire deux matrices ?

De la même manière que l'addition, les deux matrices doivent avoir la même dimension à savoir, le même nombre de lignes et le même nombre de colonnes.
Pour soustraire deux matrices, il suffit de soustraire les éléments de la même position 2 à 2.

Exemple:

Soit A et B, deux matrices 3 x 2

`A = [[2,6],[7,-2],[5,11]]`

`B = [[1,-10],[4,7],[-9,13]]`

On a alors,

`A - B = [[2-1,6-(-10)],[7-4,-2-7],[5-(-9),11-13]] = [[1,16],[3,-9],[14,-2]]`

Comment multiplier deux matrices ?

Soit deux matrices A et B, la mutiplication des deux matrices A . B n'est possible que si le nombre de colonnes de A est égale au nombre de lignes de B. Ainsi, on pourra multiplier une matrice 2 x 3 par une matrice 3 x 4 mais pas par une matrice 2 x 2. Pour généraliser,

Le produit matriciel A . B est défini pour des matrices de dimensions:
A de dimension m x n
B de dimension n x p

Le produit des deux matrices P = A . B est une matrice de dimension m x p.

Attention : bien respecter le sens, il s'agit ici de A . B et non B . A qui est une autre affaire ! on dit que le produit matriciel n'est pas commutatif.

Comment calculer le produit ?

Soit A matrice 2 x 3 et B une matrice 3 x 2. D'après la condition énoncée ci-dessus (m=2, n=3 et p=2), la multiplication est possible et la matrice produit P = A . B est de dimension 2 x 2

`A = [[1,5,2],[3,4,7]]`

`B = [[0,-1],[8,6],[-2,10]]`

`P = A*B = [[\color {red} {1},\color {red} {5},\color {red} {2}], [3,4,7]] * [[\color {red} {0}, -1], [\color {red} {8}, 6], [\color {red} {-2} ,10]] = [[\color {red} {c_11}, c_12], [c_21, c_22]]`

- Pour calculer le coefficient `c_11`, on "multiplie" la 1ère ligne par la 1ère colonne. On a ainsi,

`c_11 = [1,5,2]*[[0],[8],[-2]] = 1*0 +5*8 +2*(-2) = 36`

- Pour calculer le coefficient `c_12`, on "multiplie" la 1ère ligne par la 2ème colonne. On a ainsi,

`c_12 = [1,5,2]*[[-1],[6],[10]] = 1*(-1) +5*6 +2*(10) = 49`

- Pour calculer le coefficient `c_21`,on "multiplie" la 2ème ligne par la 1ère colonne. On a ainsi,

`c_21 = [3,4,7]*[[0],[8],[-2]] = 3*0 +4*8 +7*(-2) = 18`

- Pour calculer le coefficient `c_22`, on "multiplie" la 2ème ligne par la 2ème colonne. On a ainsi,

`c_22 = [3,4,7]*[[-1],[6],[10]] = 3*(-1) +4*6 +7*(10) = 91`

On écrit le résultat final,

`P = A*B = [[36,49],[18,91]]`

On peut généraliser le produit de deux matrices somme suit,
soit A et B deux matrices de dimensions respectives m x n et n x p, alors le produit P = A. B est une matrice de dimension m x p. On note `c_(ij)` l'élément de la matrice P qui se trouve à la i-ème ligne et j-ième colonne.

Le coefficient `c_(ij)` s'obtient en "multipliant" la ligne i de la matrice A par la colonne j de la matrice B.

Comment diviser deux matrices ?

On suppose que A et B sont deux matrices telles que:
- A est une matrice de dimension m x n
- B est une matrice carré inversible de dimension n (Voir Matrice inverse)

Dans ces conditions, on peut parler de la division de A par B. La matrice division est:

`D = A . B^(-1)`

On a donc ramené le problème à une multiplication de deux matrices `A` par `B^(-1)` (explicitée ci-dessus).

Exemple: Comment diviser A par B ?

`A = [[1,2],[5,7]]`

`B = [[-1,2],[10,7]]`

On vérifie les conditions de divisibilité:

- B est-elle une matrice carrée ? oui, car le nombre de colonnes est identique au nombre de lignes (=2).
- B est-elle inversible ? oui car son déterminant est différent de 0 (det[B] = -1*7-2*10 = -27).

Les conditions de divisibilité sont bien vérifiées donc, on peut calculer `D = A . B^(-1)`

On inverse B, on obtient

`B^(-1) = [[-7/27,2/27],[10/27,1/27]]`

`D = A*B^(-1) = [[1,2],[5,7]] * [[-7/27,2/27],[10/27,1/27]]`

On obtient le résultat final,

`D = [[13,4],[35,17]]`

Voir aussi

Calculateurs d'Algèbre linéaire