Fonctions hyperboliques
utiliser sqrt(2) pour la racine carrée de 2 par exemple.
Tableau des fonctions hyperboliques dans R (nombres réels)
| Fonction | Abbreviation | Domaine de définition | Domaine image |
|---|---|---|---|
| sinus hyperbolique | y = sinh(x) | l'ensemble des réels | l'ensemble des réels |
| cosinus hyperbolique | y = cosh(x) | l'ensemble des réels | y >= 1 |
| tangente hyperbolique | y = tanh(x) | l'ensemble des réels | -1 < y < 1 |
| cotangente hyperbolique | y = coth(x) | l'ensemble des réels non nuls | y < -1 ou y > 1 |
sinus hyperbolique
La fonction sinus hyperbolique est définie comme suit,
`sinh(x) = (e^x - e^(-x))/2`
sinh(x) existe quelque soit le réel x donc le domaine de définition est `RR`.
Le domaine image (ensemble des valeurs de la fonction) est `RR`.
cosinus hyperbolique
La fonction cosinus hyperbolique est définie comme suit,
`cosh(x) = (e^x + e^(-x))/2`
cosh(x) existe quelque soit le réel x donc le domaine de définition est `RR`.
Le domaine image (ensemble des valeurs de la fonction) est [1, +∞[.
tangente hyperbolique
La fonction tangente hyperbolique est le rapport entre la fonction sinus hyperbolique et la fonction cosinus hyperbolique,
`tanh(x) = frac{sinh(x)}{cosh(x)} = frac{e^x + e^(-x)}{e^x + e^(-x)} = frac{e^(2x) - 1}{e^(2x) + 1}`
tanh(x) existe quelque soit le réel x donc le domaine de définition est `RR`.
Le domaine image (ensemble des valeurs de la fonction) est ]-1, 1[.
cotangente hyperbolique
La fonction cotangente hyperbolique est le rapport entre la fonction cosinus hyperbolique et la fonction sinus hyperbolique.
`coth(x) = frac{cosh(x)}{sinh(x)} = frac{e^x - e^(-x)}{e^x - e^(-x)} = frac{e^(2x) + 1}{e^(2x) - 1}`
On peut écrire aussi que,
`coth(x) = frac{1}{tanh(x)}`
coth(x) existe quelque soit le réel x non nul donc le domaine de définition est l'ensemble des réels non nuls : `RR` \ {0}.
Le domaine image (ensemble des valeurs de la fonction) est ]–∞, –1[ U ]1, +∞[.
Voir aussi
Fonctions hyperboliques inverses