Equation du second degré

Solveur d'équation du second degré :   `ax^2+bx+c=0`
Il traite aussi le cas des coefficients et des solutions avec des nombres complexes.


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Comment utiliser ce calculateur ?

Ce calculateur est un solveur d'équation du second degré ax2+bx+c=0.
L'outil calcule les solutions exactes quand elles existent et donne aussi des approximations numériques de celles-ci.

Champ "Inclure solutions complexes"

Voici les choix possibles,
  • Non : si vous cherchez uniquement des solutions réelles (résolution de l'équation dans l'ensemble des réels `RR`).
  • Oui : si vous souhaitez étendre la recherche à `CC`, l'ensemble des nombres complexes.

Saisie des coefficients

Voici quelques indications concernant la saisie des coefficients de l'équation.
  1. Pour un produit de deux variables, utiliser l'opérateur * par exemple : saisir m*p et non mp.
  2. Vous pouvez saisir :
    • des entiers, exemple : 5, -7
    • des fractions, exemple : 1/3 ou -2/9
    • des valeurs décimales, exemple : 3.9 ou -9.65
    • des constantes, exemple : pi ou e
    • les fonctions usuelles, exemple : sin(pi/5)
    • l'opérateur racine carré, exemple : saisir sqrt(3) ou 3^0.5 pour `sqrt(3)`
    • des nombres complexes, exemple : 1+i ou -i

Comment résoudre une équation du 2d degré ?

On suppose que les coefficients sont des nombres réels et que nous cherchons des solutions réelles.
On suppose que, dans tout ce qui suit, `a != 0`.

  • Etape 1 : Calculer le discriminant `\Delta = b^2-4*a*c`
  • Etape 2 : Calculer les solutions

    • Si `\Delta < 0` : il n' y a pas de solution.

    • Si `\Delta = 0` : il y a une seule solution

      `x_1 = -b/(2*a)`

    • Si `\Delta > 0` : il y a 2 solutions

      `x_1 = (-b-sqrt(\Delta))/(2*a)`

      `x_2 = (-b+sqrt(\Delta))/(2*a)`

Bon à savoir

Il est utile de connaitre quelques astuces pour résoudre rapidement une équation du second degré.
  • Si b est un entier pair, on peut simplifier les calculs en calculant un discriminant réduit.

  • `\Delta' = b'^2-a*c` avec `b' = b/2`

    Si ce discriminant est positif, alors les solutions sont,

    `x_1 = (-b'-sqrt(\Delta'))/a`

    `x_2 = (-b+sqrt(\Delta'))/a`

  • Si a et c sont de signes contraires (par exemple a=3 et c=-5) alors, l'équation a forcément deux solutions réelles car dans ce cas, a*c < 0 donc -4*a*c > 0 ce qui implique `\Delta = b^2-4*a*c > 0`

  • Il peut être utile de calculer rapidement s = a+b+c (la somme des coefficients) car si s=1, alors x=1 est une solution de l'équation.

    En effet, en remplaçant x par 1, on obtient

    `a*1^2+b*1+c=a+b+c=0`.

    La deuxième solution peut être trouvée en mettant en facteur (x-1) dans l'équation ou en utlisant la propriété suivante.

  • Il peut être utile de connaitre les formules de la somme et du produit des solutions d'une équation du second degré.

    On note x1 et x2 les racines de l'équation (réelles ou complexes) et on note le produit P et la somme S,

    `S = x_1+x_2`

    `P = x_1*x_2`

    alors on a,

    `S = -b/a`

    `P = c/a`

    Application : pour calculer deux nombres dont on connait la somme S et le produit P alors il suffit de résoudre l'équation du second degré :

    `x^2 - S*x +P=0`

    Les deux nombre recherchés, s'il existent, sont les solutions de cette équation.

Cas des solutions complexes

Si `\Delta < 0`, on a vu que l'équation n'a pas de solution réelle. En revanche, elle a deux solutions dans `CC`, l'ensemble des nombres complexes, qui sont :

`x_1 = (-b-i*sqrt(-\Delta))/(2*a)`

`x_2 = (-b+i*sqrt(-\Delta))/(2*a)`

Voir aussi

Calculateur d'Equation du troisième degré
Calculateurs d'équation
Calculateurs mathématiques